Физически адекватная математика

Дмитриев Ю.Б.
Физически адекватная математическая логика особых чисел

Абстрактная и материалистическая стратегии
Идеальность абстрактного математического знания поставила, казалось бы, непреодолимый барьер любым попыткам приписать числу и его генезису эмпирический характер. Вместе с тем, в начале становления математики считалось важным работать именно с материализованными числами (типа «пифагорейских камешков»), но этот путь тогда не дал универсального решения, что послужило началом идеи абстрактных чисел, и идеальности, как таковых. Однако сегодня стали понятными фундаментальные причины, которые не позволили достичь необходимого уровня универсальности в рамках материалистического подхода, а также, почему не любая материализация числа может объяснить аподиктический и синтетический характер чисел. Становится также более понятным и почему математическое знание имеет аподиктический характер.
Математическому материализму не удалось реализоваться в математической логике, как принято считать, по той причине, что им неизбежно предполагается изначальная данность числа. Тем не менее, выяснилось, что изначальную материалистическую данность числа не следует считать фатальным недостатком этого направления. Напротив есть все основания говорить сегодня о возрождении именно данного направления в качестве главной стратегии развития математики на современном этапе и в будущем, но для этого необходимо использовать новую материалистическую основу, вместо той, на которой эти попытки так неудачно осуществлялись ранее. Актуальность физически адекватной математической логики и физически обоснованного введения особых чисел (нуля и единицы) сегодня особенно видна в контексте множества не решенных и не решаемых задач современной математики.
Физически адекватная математическая логика связывает понятие числа, его генезис и особые числа с вполне конкретными материальными объектами, но которые имеют принципиальное отличие от объектов типа «пифагорейских камешков». Суть отличия состоит в том, что это самые фундаментальные объекты природы (структурные единицы физического вакуума - неоатомы). Все другие виды материальных объектов на роль такого универсального объекта-числа принципиально не подходят по той причине, что все они, без исключения, являются в физическом (и математическом) смысле лишь синтезированными (из неоатомов) и изменяющимися во времени.
Непониманием принципа выбора материальных объектов на роль числа физически адекватная математическая логика предлагает объяснять и отказ от материалистического направления при принятии абстракций в качестве стратегии развития математики. При этом то, что математика встала именно на путь абстракций она признает вполне закономерным следствием вполне закономерного отставания на определенном этапе развития физического знания о структуре фундаментального уровня природы. Как следствие возможности математики развиваться быстрее на абстрактном направлении в итоге предопределили и развитие самой физики как математической физики. В последнее время ситуация в науке в целом и в физике, в частности, заметно изменилась в понимании причин именно такого хода истории развития математики и физики. Появилась возможность на новом уровне представить науку познания, постнеклассическую физику и математическую логику, и даже поставить вопрос о создании основ концептуально единой науки.
Одним из принципиальных вопросов, на которые должна была ответить теория генезиса числа, считается вопрос о генезисе понятия числа и идеи числа, и, прежде всего, на каком основании пифагорейцы опознали в своих камешках именно числа, и что же это были за числа с позиций современного уровня знания. Сегодня становится очевидным, что в рамках абстрактной математической логики получить адекватные ответы на эти вопросы не представляется возможным.
На эти вопросы способна корректно ответить лишь физически адекватная математическая логика, которая понятие числа предлагает вводить, как физически адекватное понятие и связанное только с объектами фундаментального уровня природы, и где сама идея числа опирается на неизменность во времени особых чисел и стоящих за ними материальных объектов. «Камешки» пифагорейцев и им подобные объекты не могут быть отнесены к объектам фундаментального уровня, т.к. изменяются во времени, и в этом главная причина, по которой они не могут претендовать на присвоение им универсального особого числа (единицы).
Тем не менее, пифагорейцы в своих камешках видели числа, причем числа особые (единицы). Объяснить это можно тем, что для них понятие числа было фактически абстрактным (идеальным), т.е. его можно было присваивать любому объекту. Но это была иллюзия понимания природы числа. То, что каждый объект должен иметь возможность быть представленным числом не вызывает никаких возражений. Возражение сводится лишь к тому, что не каждому объекту может быть присвоено понятие особого числа, к которым относятся только нуль и единица. В рамках физически адекватной математической логики и теории физических чисел, которые вкладывают в понятие числа смысл «фундаментальное, физически адекватное и неизменное во времени», появляется возможность более корректно ответить и на другие проблемные вопросы современной математики, что позволяет говорить о создании фундаментально физически обоснованного направления развития математической логики и математики.
Одну из основных проблем абстрактной математики формулируют сегодня как проблему соотношения возможных формально-идеальных чисел и реально существующих содержательно-материальных вещей (или как проблему эффективности математики). В рамках рассматриваемой фундаментальной материалистической стратегии, решение данной проблемы также сводится к необходимости приведения понятия числа к физическим объектам фундаментального уровня природы.
Физически адекватная математическая логика утверждает, что лишь физически объективные числовые закономерности обладают тем необходимым и достаточным математическим свойством, и соответственно только они могут быть признаны универсальными, и имеют научное право предопределять и общую формальную структуру существующего мира. В этой стратегии реализация любых числовых закономерностей в объективном мире не связана с выполнением других условий, кроме как условия следовать при построении математической аксиоматики идентификации объектов фундаментального уровня природы (что абстрактная математика, по существу, также отвергает). Однако, отвергая материалистическую стратегию, как направление развития математики в целом, абстрактная идеология, фактически опиралась лишь на аргументы, связанные с неудачными попытками сделать идеальными особыми числами именно синтезированные материальные объекты. Но такие попытки естественно не могли быть успешными, но так или иначе в итоге вместе «с водой был выплеснут и ребенок».
Материальное пространство реального мира в основе содержит материальную среду в виде физического вакуума, обладающего определенной структурой. Соответственно математические законы выполняются в этом мире с той же точностью, с которой математическая логика отражает именно эту структуру физического вакуума. Но в таких предельных случаях, когда качественные различия между сущностями, которые необходимо описывать, велики, абстрактное математическое знание закономерно и всегда оказывается заведомо ложным.
В частности, принцип фальсификации К. Поппера, который некоторые считают возможным упразднить применительно к равенству «2+2=4», невозможно опровергнуть в рамках абстрактной математики, но возможно (и только) в физически адекватной математической логике и теории физических чисел, на основе физически адекватно введенных особых чисел. Данное утверждение становится справедливым не только для класса возможных миров, но и для двух пар неоатомов (как структурных единиц физического вакуума), объединенных силами притяжения в одной, но уже не элементарной частице и т.д. В абстрактной математике применительно к этому равенству принцип фальсификации Поппера соответственно остается в силе, откуда следует также понимание, что счет и изменение в математике должны быть разделены на основе знания, что физически может считаться и что изменяться.
Пифагорейцы предопределили и последующий генезис понятия числа, который в итоге укрепил и сознание математиков в том, что сущность и природа числа не в их материальном носителе, а в их идеальной природе. Почему камешки превратились в современные цифры сами пифагорейцы (как первооткрыватели числа), не вполне понимали. Не понимали они и всей глубины проблемы и ошибочности своих выводов, когда первоначально числа фигурировали в виде превращенной формы, и на первый план выходил, как менее существенный для их функционирования, материальный фактор. Поэтому лишь акцентирование внимания на материальной природе особых чисел и соответственно числа вообще и во взаимосвязи их только с объектами фундаментального уровня природы, первоначально и до сих пор непонятную идею числа позволяет сделать доступной для непротиворечивого понимания и использования.
Приведенный анализ показывает отсутствие и, какой либо, символической природы у числа, и то, что проблему числового символизма необходимо решать также, исходя только от объектов фундаментального уровня природы, чего, безусловно, не может дать и культурный символизм «технэ». Монеты, камешки и другие макрообъекты математика обязана, прежде всего, считать синтезированными и изменяющимися во времени объектами (со скоростью света в вакууме) и потому не соответствующими фундаментальному универсальному статусу понятия особого числа (т.е. единице). Это касается ситуаций и с фиксацией других количественных характеристик, таких как вес, размер и т.д., которые, по существу, не выявляют их числовой формы. Таким образом, аппарат постнеклассической физически адекватной математики позволяет непротиворечиво оценивать динамику во времени не только веса и размеров вещей, но и их иных характеристик, показывая, какие процессы происходят при этом на фундаментальном уровне природы. Это позволяет видеть и объективную интерпретацию понятия «число» и, что за любыми числами, включая особые числа (единица и нуль) стоят вполне конкретные физические объекты.
На этом (и только этом) основании число можно считать и универсальным символом (архетипом) науки, который может быть применен для исчисления любой природной или культурной составляющей материальной вещи. Здесь важно видеть, как истоки, так и основную идею введения понятия числа и, что число вводится, прежде всего, с целью познания объективных законов материального мира. Другие применения математики вполне закономерно могут считаться прикладными, помогающими решать те или иные проблемы человечества по счету самых различных видов синтезированных объектов. Универсальность числа, которую некоторые связывают со спецификой той или иной культуры (нуль есть в арабском исчислении, но его нет в римском) указывает, прежде всего, на глубинные механизмы заблуждения человеческого сознания, особенно при использовании различных видов абстракций, которые часто вводились различными культурами в попытках познания окружающего мира.
Факт того, что превращенный образ пифагорейских чисел предопределил развитие математического знания не от абстрактного к конкретному, а наоборот, отражает, прежде всего, что игра в камешки дает представление о мире лишь на уровне камешков, но отнюдь не фундаментальном уровне природы. Именно поэтому в ходе осознания первоначальной идеи числа, последующая мысль развивалась, прежде всего, со стороны углубления в осознании идеальной природы числа и очищение области числового от всего инородного, каким считался, прежде всего, материально-содержательный аспект (сфера числовой идеализации расширялась впоследствии и за счет новых типов число – подобных) объектов. Нет оснований и исключать, что в сознании пифагорейцев камешки представлялись неизменными во времени объектами, но искать неизменность в рамках фундаментального физического контекста природы числа им было сложно. Но именно это позволило физически адекватной математической логике, науке познания и постнеклассической физике утверждать, что к области аксиом может быть отнесена только природа пространства и материи [17]. Все остальное в математике и физике должно (и может) непротиворечиво доказываться и исчисляться.
Известно, что именно успех метода Евклида побудил математиков последовать его примеру и в разделах науки о числах. П. Д. Пеано, впервые дал формулировку арифметики, используя аксиому, что существует нуль, а за каждым числом следует еще число, но ни сам Пеано, ни Гильберт (и его школа, продолжавшая работу Пеано), не смогли доказать полноту и состоятельность аксиом Пеано и других подобных утверждений. Причины сегодня вполне понятны, и связаны с тем, что принятые аксиомы при этом сохраняли, по сути, главную аксиому, а именно стратегию физически необоснованных абстракций. Требование же полноты теории, которое указывает, что любая адекватная теорема арифметики может быть выведена из аксиом в предположении отсутствия противоречий, т.е. когда выведены как утверждения, так и утверждения, противоположные им, в этих условиях выполнено быть не может. Стратегия абстрактной математики здесь приводит к тому, что даже если вывести любое количество верных теорем, то соответствовать этому уровню требований все равно не удалось бы, на что физически адекватная стратегия математики отмечает, что подобные трудности есть закономерного следствие абстрактного подхода к проблеме введения чисел.
Д. Гильберт [9-13], предлагал программу построения математики на базе конечного числа аксиом (чтобы с помощью правил вывода из них можно было построить все теоремы математики). Фактически же в этой программе была сохранена в качестве главной аксиомы идея абстрактного числа, Поэтому в его важнейших задачах математики, которые предстояло решить теоретикам, под вторым номером он поставил, по сути, заведомо не решаемую задачу о самодостаточности математики. Ее он сводил к необходимости строго доказать, что система аксиом, как базовых утверждений, принимаемых в математике за основу без доказательств является непротиворечивой и полной (позволяет математически описать всё сущее). Однако при этом необходимо было доказать и то, что возможно задать такую систему аксиом, которые будут взаимно непротиворечивы и из них можно вывести заключение относительно истинности или ложности любого утверждения.
Некоторые математики полагали (в начале ХХ в.), что такая же ситуация должна наблюдаться в любой логически непротиворечивой системе, но К. Гедель [5-7] опрокинул мир математической логики (заметим, абстрактной). Он пытался доказать общее свойство любой системы аксиом: «если можно доказать утверждение A, то можно доказать и утверждение не - A», т.е. если можно доказать справедливость утверждения «А - недоказуемо», то можно доказать и справедливость утверждения «А - доказуемо». В формулировке второй задачи Гильберта, если система аксиом полна (то есть любое утверждение в ней может быть доказано), то она противоречива.
Единственным выходом из такой ситуации, как некоторые считали, оставалось принятие неполной системы аксиом, и мириться с тем, что в контексте любой логической системы останутся утверждения «типа А», которые являются заведомо истинными или ложными, об истинности которых можно судить лишь вне рамок принятой аксиоматики. Если же таких утверждений не имеется, значит аксиоматика противоречива, и в ее рамках неизбежно будут присутствовать формулировки, которые можно одновременно и доказать, и опровергнуть. Формулировка первой (или слабой) теоремы Геделя о неполноте формулировалась в смысле, что: «любая формальная система аксиом содержит неразрешенные предположения».
Но на этом Гедель не остановился и сформулировал вторую (сильную) теорему о неполноте: «логическая полнота (или неполнота) любой системы аксиом не может быть доказана в рамках этой системы. Для ее доказательства или опровержения требуются дополнительные аксиомы (усиление системы)». Гедель утверждал, что состоятельность и полноту какой-либо логической системы можно установить, лишь погружая исходную систему в систему более масштабную. Тем не менее, идентифицировать такую более высокую по уровню обобщения систему относительно абстрактной математики ему не удалось.
Известно, что с позиций аксиоматического метода это утверждение несет смысл: «для любой системы необходимы аксиомы, смысл и адекватность которых можно прояснить только в системе, которая включает в себя и данную, как частный случай». С обсуждаемых позиций материалистической идеи числа корректнее было бы говорить о том, что начинать строить любую теорию необходимо, опираясь на требования законов науки познания и основы постнеклассической физики. Но так как в рамках абстрактной математической логикой этого фактически не было сделано (она осталась на позиции самодостаточности), то такую теорию (в данном случае абстрактную математику) заведомо можно считать как не вполне адекватную реальности.
Гедель не смог увидеть главного, а именно того, что относительно математики уже существуют более высокие по уровню обобщения системы, которыми являются наука познания и постнеклассическая физика. Непонимание этого стало причиной и еще одного его ошибочного вывода, что «при погружении системы в более масштабную систему, проблема ее состоятельности и полноты становится еще более сложной (из-за усложнения логического языка), что приводит в итоге к спирали усложнений и нескончаемой логической эскалации». С этим выводом Геделя физически адекватная математическая логика, наука познания и постнеклассическая физика, безусловно, не могут согласиться, хотя и отдают должное ему в развитии математической мысли.
К. Гедель (с помощью своей второй теоремы), доказывая невозможность решения задачи самодостаточности математики, не смог при этом выделить главного, а именно, что главная ошибка предложения Гильберта кроется в сохранении им стратегии абстрактности числа. В реальности же он сам оставался в рамках этой же стратегии и фактически доказывал ошибочность этой стратегии через непреодолимую противоречивость тех абстрактных аксиом и теорий, которые были построены без учета требований законов науки познания и постнеклассической физики.
Тем не менее, вторая проблема Гильберта имеет решение, но для этого необходимо принять выше представленную физически адекватную стратегию развития математики и соответствующую ей идею и понятия числа, включая новую основу для введения и особых чисел. Формулирование законов науки познания и постнеклассической физики, как общих систем стоящих «над математикой», очевидно, считалось делом не математики. Возможно, поэтому предпочтения абстрактной стратегии математики и абстрактного видения мира сохранялись в качестве базовых, как относительно законов науки познания, так и постнекласической физики. Гедель не мог не понимать важности этого шага, поскольку сам вышел за пределы собственно математики, но абстрактную стратегию не смог критиковать даже он, и именно поэтому ему не удалось создать ту систему, в которую необходимо было бы «погрузить» все то, что было создано в рамках «чистой» абстрактной математики.
Открытие антиномий (парадоксов) в логике и теории множеств (в начале XX в.) ставило фактически ту же задачу о необходимости пересмотра оснований математики и математической логики на основе, исключающей появление противоречий. Это была еще одна серия аргументов, которая указывала на не вполне адекватное состояние основ абстрактной математики, хотя в большей степени она отражала лишь вербальную актуализацию реформирования математики, нежели указывала путь достижения этой цели. Та программа, которая все же была представлена в этом контексте, видела решения этих проблем, в частности, через сведение математики к логике с помощью аксиом. Однако оснований для успешности такого сведения и для адекватности, перестроенной, таким образом, математики и её логики, фактически не было, ввиду того, что в предлагаемом пути сохранялась главная причина, породившая данные проблемы. Соответственно и этот путь закономерно не смог исключить, как известные, так и предотвратить появление новых антиномий, т.к. в нем не было оснований для доказательств их непротиворечивости.
Последовательное развитие этой идеи и стремление точно описать логические средства вывода теорем из аксиом (что привело Гильберта к концепции формального аксиоматического метода, характерной для третьей, современной его стадии), также не предполагало возрождения материалистической стратегии, и соответственно также было обречено на неудачу. Основная идея Гильберта, которая состояла в полной формализации языка науки, при которой её суждения рассматриваются как последовательности знаков - формул, приобретающих смысл лишь при некоторой конкретной интерпретации (что относится и к аксиомам, как обще логическим, так и специальным для данной теории), соответственно также не могла быть реализована. По замыслу Гильберта (в рамках созданной им теории доказательств) в метатеории допускаются только финитные способы рассуждения, которые не используют ссылки ни на какие объекты, не имеющие конечного построения. Предполагалось, что так можно доказать непротиворечивость и полноту всей классической математики, а также доказуемость каждой формулы, истинной при некоторой определённой интерпретации. Несмотря на ряд значительных результатов достигнутых в этом направлении, гильбертовская программа в целом (которую называют формализмом), оказалась невыполненной даже относительно результата К. Геделя (всякая достаточно богатая непротиворечивая формальная система непременно неполна), что вполне закономерно для любого нематериалистического и любых нефундаментальных материалистических концепций.
Таким образом, неудача гильбертовской программы подтвердила не только корректность теоремы о неполноте, которая утверждает ограниченные возможности и аксиоматического метода, но и поставила под сомнение абстрактную идею числа и математики в целом, последнее фактически не было увидено. Вместе с тем, считается, что определённые расширения допускаемых метатеоретических средств позволяют получить доказательство непротиворечивости формализованной арифметики. Однако и эти результаты (Г. Генцен [8] и другие математики) в основе своей также несли приоритет абстрактной стратегии. Но из этих рассуждений некоторыми математиками уже был сделан вывод о невозможности универсального критерия в принципе, и что только сложное способно оценить простое.
Существует точка зрения, что вклад Гёделя в математику применим и к любой другой области знания, в которой используются законы логики, поэтому на основании теоремы о неполноте стали предлагаться доказательства всего и, в частности, философских выводов. С позиций законов науки познания и материалистической стратегии математики теорему Геделя следует интерпретировать в том смысле, что адекватность любой научной системы можно доказать если она построена с учетом законов науки познания, которые включают наиболее общие представления фундаментального уровня природы. Единственным ограничением здесь наука познания видит вопрос о природе пространства и материи, которая не может быть постигнута в рамках научного метода познания, экспансия которого распространяется лишь на свойства пространства и материи. Но на этот уровень теорема Геделя уже не распространяется, и как отмечалось, указанные рассуждения в значительной степени теряют смысл при связывании понятия числа с универсальным материальным объектом.
Таким образом, вопрос о неполноте теорий должно было бы перевести в плоскость актуальности физического обоснования аксиоматических основ математики с аргументацией, что для математики наука познания и постнеклассическая физика в иерархии наук занимают более высокое положение. Математика в иерархии наук, являясь, безусловно, актуальной наукой должна рассматриваться в концептуально единой науке в качестве теоретического направления развития физики (что отражено в математическом законе науки познания), опираясь на фундаментальные положения и аксиоматику наук более высокого уровня в иерархии наук. Актуальность создания математики, как науки, фактически возникает непосредственно после формулирования адекватных качественных физических представлений о мире, в которых должна быть представлена материальная структура и его фундаментального уровня.
Проблема Кантора о мощности континуума [18], непротиворечивости арифметических аксиом, равенства двух тетраэдров с равновеликими основаниями и равными высотами, проблема о прямой линии как кратчайшем пути между двумя точками, понятия непрерывной группы преобразований Ли без предположения о дифференцируемости функций, определяющих группу, проблема математического изложения аксиом физики, иррациональность и трансцендентность некоторых чисел, проблема простых чисел, доказательства наиболее общего закона взаимности в любом числовом поле, задачи о разрешимости Диофантова уравнения, квадратичных форм с произвольными алгебраическими числовыми коэффициентами, распространения теоремы Кронекера об Абелевых полях на произвольную алгебраическую область рациональности, невозможности решения общего уравнения седьмой степени с функцией двух переменных, доказательства конечности некоторой полной системы функций, строгого обоснования исчислительной геометрии Шуберта, проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей, представления определенных форм в виде суммы квадратов, построения пространства из конгруэнтных многогранников, общей задачи о граничных условиях, доказательства существования линейных дифференциальных уравнений с заданной группой монодромии, униформизации аналитических зависимостей с помощью автоморфных функций, развития методов вариационного исчисления и многие другие проблемы. Это не полный перечень современных проблем математики, которые представляют реальное состояние, к которому ее привели аксиоматические основы, опирающиеся на абстрактную идею числа и отказ от материалистической стратегии.
Современная абстрактная математическая логика не нашла решения и целого ряда собственных проблем онтологического уровня, причем также по выше указанным причинам. К этому же уровню относят и проблему реальности существования в математике образующих начал (например, натурального ряда чисел или его элементов). Ответ Р. Дедекинда [14-16] на этот вопрос был отрицательным. По-Дедекинду, любые начала для представляющей собой непрерывность смешанной типологической системы следует считать искусственными. Причину же он видит в том, что проблема изотропности и абсолютности математических норм по отношению к любой физической позиции, в т.ч. пространственной или временной локализации, должна быть признана неразрешимой. К нерешенным проблемам относят и проблему когнитивной интеграции именных и структурных форм математического описания в человеческом познании. Как следствие, к указанным проблемам добавляют и проблемы внутренней рациональности математики, объективности принципа «невозможности сокращенного описания истинно случайной последовательности чисел», а также проблемы рациональности внешнего оправдания, его корреляции с внутренним совершенством математики.
Современная абстрактная математическая традиция содержит и множество нетождественно формализующих модель принципов законотворчества из гипотез и теорий. Важнее же специфических отличий подобных теорий сегодня следует считать признак общности основ, который означает принципиальную возможность постепенного движения к созданию основ концептуально единой науки. Постановку других проблем при нерешенности главной проблемы математики следует считать, как не вполне корректно сформулированные, ввиду того, что все они являются лишь ее следствиями. Тем не менее, наука познания и постнекласическая физика, а с ними физически адекватная математическая логика утверждают, что в любом физическом процессе может быть выстроен физический ряд объективных чисел, в связи с чем, данная задача располагает содержанием.
Неизбежность востребования при этом знания фундаментальных физических объектов (абсолютно пустого трехмерного пространства и неоатомов), прежде всего, диктуется требованием адекватного введения особых чисел в контексте законов науки познания и фундаментальных законов постнеклассической физики. В целом такое представление понятия и идеи числа через физически адекватное введение особых чисел позволяет разрешить большинство основных проблем абстрактной математики. Физические объекты фундаментального уровня, из которых состоит материальный мир (включая и пифагорейские «камешки»), лишь на этом основании имеют право на присвоение особых чисел только им. Введение же таким образом, особых чисел, позволяет приписать соответствующее число (как суммы содержащихся в нем неоатомов - единиц) уже любому материальному объекту, и только так можно обосновать и реализовать пифагорейскую парадигму «все есть число».

Физически адекватная планиметрия
В стандартной Евклидовой планиметрии считается возможным непротиворечиво доказать, что утверждение «сумма углов треугольника равна 180°» истинно, а утверждение «сумма углов треугольника больше или меньше этой величины» ложны. В этом смысле считается, что в Евклидовой геометрии любое утверждение либо ложно, либо истинно, и третьего не дано. Однако эти утверждения становятся не вполне корректными в рамках физически адекватной геометрии, где точки, линии, углы, геометрические фигуры и т.д. требуется выполнять из материальных объектов самых малых размеров. В рамках физического воспроизведения геометрических фигур, например, для задач описания процессов фундаментального уровня в такой планиметрии могут меняться и соответствующие константы, теоремы и законы. Более того, именно эти теоремы, законы и константы следует считать точными, нежели те, которые выведены на макроскопическом уровне из евклидовой геометрии. Тем самым физически адекватной планиметрией доказывается, что принципиальное значение имеет физическое представление линий и точек, которые используются при построении тех или иных геометрических фигур, а также для вывода теорем и определения соответствующих констант с использованием геометрических построений.
Физически адекватная планиметрия вводит минимально допустимый размер точки и равную этому размеру толщину линий для построения физически адекватных геометрических объектов, используя при этом реальное материальное тело - неоатом, который обладает такими размерами (неоатом принимается постнеклассической физикой и в качестве материальной точки). Минимальный размер – эталон, которым обладает лишь структурная единица физического вакуума (неоатом, из которых состоят все материальные объекты) для адекватного представления современного математического знания имеет принципиальное значение. Соответственно физическими точками (неоатомов) должны представляться все точки и линии всех геометрических фигур. Именно в этом состоит смысл и физической интерпретации геометрических объектов, как и любых других физически адекватных математических объектов.
Физическая планиметрия утверждая, что минимальная толщина линий размер физической точки не могут иметь толщину менее размера одного неоатома, тем самым подчеркивает, что абстрактная планиметрия, которая вообще не оговаривает этих условий, тем самым, представляет их также абстрактными (не имеющими размеров). Такая постановка вопроса в основании планиметрии на современном уровне знания уже не представляется вполне корректной, т.к. неприменима, прежде всего, для решения теоретических задач на фундаментальном уровне. Более того, если не вводить физических ограничений по размерам точек, из которых состоят линии, то аксиомы Евклида не выдерживают научной критики, в виду их физической непредставимости.
Физически адекватная математическая логика утверждает, что прямыми параллельными линиями следует считать лишь те линии, которые, во-первых, составлены из материальных точек и, во–вторых, не имеют точек, которые находились бы в контакте или перекрывали точки другой параллельной линии, также составленной из физических точек. При этом расстояние между противолежащими точками параллельных линий на всем их протяжении должно быть одинаковым и равным не менее размера одной точки (неоатома). Такое требование обусловлено тем обстоятельством, что более точного эталона длины, скорее всего, ни у физики, ни у математики уже никогда не появится. Поэтому о меньших линейных размерах и эталонах ставить вопрос не имеет физического смысла
Соответственно, если размеры точек (толщина линий) больше диаметра одного неоатома, то необходимо учитывать эти дополнительные условия, т.к. в каждом конкретном подобном случае потребуется не только принципиально иная постановка задачи, но и появятся соответственно новые закономерности.
Одним из важных выводов физически адекватной математической логики и планиметрии представляется то, что при физически адекватном введении особых чисел и физических точек можно ставить вопрос об упразднении и таких понятий как периодичность и иррациональность чисел, учитывая, что деление на части неделимых физических единиц - неоатомов не имеет физического смысла. Фундаментальная физически адекватная математическая единица вводится как неделимая в принципе единица. Такого введения требует, прежде всего, математический закон науки познания, который опирается на принцип невозможности уничтожения (или создания) материи. А также принцип тождественности особых единиц. Такая единица не содержит ограничений и потому она может (имеет все основания) считаться универсальной, как для счета материальных объектов, так и в качестве эталона для измерения протяженности пространства.
Физически адекватная теорема Пифагора
Некоторые математики считают, что доказательство Пифагора не было принципиальным и являлось лишь проверкой этого свойства на ряде частных видов треугольников, начиная с равнобедренного прямоугольного треугольника. Поэтому до сих пор находятся все новые и новые «доказательства» теоремы Пифагора (с использованием понятия равновеликости фигур, с применением перестановки слагаемых фигур, аддитивные доказательства, метод достраивания, алгебраический метод доказательства, где используется метод подобия и т.п.).
Учитывая, что в известных «доказательствах» теоремы Пифагора фактически сохраняется абстрактная стратегия введения понятия числа и особых чисел, то в рамках рассматриваемого подхода они также требуют физически адекватного осмысления. Более того, физически адекватная планиметрия утверждает, что известные на сегодняшний день «доказательства» и соответственно сама теорема Пифагора, вообще говоря, являются физически не вполне корректными и, прежде всего, с точки зрения описания объектов и процессов фундаментального уровня природы. Соответственно необходимо дать физически адекватное видение этой проблемы, которое стало бы основой и для макроскопического уровня, где данная теорема и ее существующие доказательства, сегодня в принципе также не могут считаться вполне точными.
Как отмечалось, абстрактная стратегия в математике вообще и в планиметрии, в частности, принципиально исключает возможность материалистической идеи числа и соответственно физически адекватных понятий числа и особых чисел (нуля и единицы). Как следствие абстрактная планиметрия исключает и возможность иного представления и соответственно изменения тех геометрических построений, теорем и закономерностей, которые выведены в рамках ее абстрактной стратегии. На это, физически адекватная стратегия развития математики и ее планиметрия утверждают именно возможность (и необходимость) таких изменений.
Таким образом, в рамках физически адекватной интерпретации теоремы Пифагора постановка задачи должна учитывать размеры материальных точечных объектов (материальных точек), из которых образованы линии треугольника в виду того, что точность утверждений теоремы Пифагора в зависимости от этих параметров может существенно различаться. На фундаментальном уровне эти изменения могут привести к выводу и полной неадекватности утверждений самой теоремы в существующем абстрактном виде.
В материалистической постановке вопроса появляются факторы, которые также требуют учета, в частности, материальные точки в вершинах треугольников могут быть отнесены к разным сторонам (катетам или гипотенузе в прямоугольных треугольниках). Соответственно возникает вопрос о необходимости формулирования принципа их принадлежности в каждом конкретном и в общем случае, т.к. площади квадратов построенных на катетах и гипотенузе в разных ситуациях будут существенно отличаться. Причем, чем фундаментальнее геометрические объекты, тем ниже точность расчетов по теореме Пифагора.
Кроме того, не на все виды физически адекватных прямоугольных треугольников теорема Пифагора вообще может быть распространена (на фундаментальном уровне, когда образующие стороны состоят из небольшого числа точек-неоатомов). В таких случаях от теоремы Пифагора требуется либо конкретизация конструктивных особенностей тех прямоугольных треугольников, на которые она предполагает распространять свою экспансию, либо указания точности, с которой она предполагает подобные вычисления (либо и то и другое). Вместе с тем, безусловно, и то, что адекватность теоремы Пифагора должна быть доказана, прежде всего, применительно к фундаментальному уровню описания, где должны учитываться все особенности конструирования геометрических фигур с учетом условий каждого конкретного случая.
Необходимо определиться, в частности, в каких случаях допустимо наличие или отсутствие точек при вершинах прямоугольного треугольника и на этой основе формулировать общие принципы отнесения вершинных точек к гипотенузе или катетам, а также рассмотреть возможность и целесообразность совмещения материалистической и абстрактной стратегий и т.д. Необходимо оценить также целесообразность введения понятий внутреннего, центрального, внешнего или других идеальных (абстрактных) контуров для физически адекватных треугольников, которые также могут меняться в зависимости, к какому из катетов или гипотенузе отнесены вершинные точки-неоатомы, их наличие, или отсутствие и т.д. (рис.1а). Иными словами, физически адекватная планиметрия считает необходимым уточнять конструктивные особенности прямоугольных треугольников и возможность применения к ним теоремы Пифагора.
Теорема Пифагора в том виде, как она формулируется сегодня, фактически не может быть признана вполне адекватной применительно даже к треугольникам, у которых число физических единиц в катетах и гипотенузе кратно 3, 4, 5. Из рис.1а следует, что если на гипотенузе физически адекватного прямоугольного треугольника выделить 5 неоатомов (один неоатом - одно кольцо), то для выполнения теоремы Пифагора в виду неоднозначности ситуации на катетах необходимо принять решение какие из неоатомов и на каком из катетов будут представлять число 3, а на каком 4. Таким образом, «классически точное» для теоремы Пифагора соотношение при небольшом числе неоатомов в сторонах треугольника фактически точно не реализуется.
Представляется недопустимым также одни и те же точки относить и к гипотенузе и к катетам, ввиду того, что площади квадратов на сторонах треугольника в зависимости от этого также будут изменяться. Если построить, например, квадрат, взяв из основания 3 неоатома, то, сохранив 4 неоатома на втором катете, на гипотенузе остается не 5. как это положено по теореме Пифагора, а всего 3 неоатома. Погрешность такого расчета будет составлять не 2, а 16 единиц, т.к. теряется эквивалентная площадь, построенная на гипотенузе.
Но можно сконструировать такие прямоугольные треугольники, которые будут подчиняться теореме Пифагора (у некоторых не должны быть вершин), в некоторых случаях может потребоваться усечение только вершины при прямом угле, или только одного пересечения гипотенузы с одним из катетов и т.д. В виду того, что точка при вершине прямого угла принадлежат обоим катетам, то изъятие ее позволяет сделать короче на один неоатом сразу оба катета. Кроме этих проблем, при построении прямоугольных треугольников возникает также проблема размещения трех неоатомов без наложения друг на друга при формировании углов. Прямыми линиями стороны треугольника при достаточно острых углах не получаются вообще и т.д. Но без осложнений из физических точек строятся, например, равносторонние треугольники рис.1б.
Иными словами, при физических построениях геометрических фигур возникают ограничения и по величинам углов, т.к. материальные точки имеют вполне конкретные размеры, не смотря на то, что для неоатома
это всего лишь ~10^ – 73см. Фактически теорема Пифагора точно не применима
а)






Рис.1.а) физически адекватные прямоугольные треугольники, стороны которых составлены из точек-неоатомов.
б) физически адекватный равносторонний треугольник с четным числом точек - неоатомов в каждой из сторон

и для треугольников, не имеющих вершин. Из построения представленного на рис.1а следует, что физически адекватный прямоугольный треугольник, который точно удовлетворял бы требованиям теоремы Пифагора построить абсолютно точно, т.е. с той точностью, которую позволяет достигать современный уровень физического знания в принципе невозможно. Но возможно построить достаточно близкий физический треугольник, для чего необходимо указать допустимый уровень точности теоремы Пифагора и сформулировать некоторые общие принципы построения (конструирования) таких треугольников. Возможно несколько решений, например, признать теорему Пифагора физически неадекватной вообще, либо признать ее физически адекватной для определенного спектра конструкций прямоугольных треугольников и т.д. Соответственно, физически адекватная теорема Пифагора может формулироваться, например, как «квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов применительно только к физически адекватным прямоугольным треугольникам Пифагора». Погрешности, которые при этом могут иметь место, обусловлены только невозможностью точного построения физически адекватных прямых линий.
Иррациональные числа появились в математике в виду теоретической необходимости математики с аргументацией, что имевшихся натуральных и рациональных чисел для задач математики на числовой оси недостаточно. Ситуация с теоремой Пифагора показывает, что отличие природы иррациональных чисел от природы натуральных и рациональных чисел, обусловлено фактически, прежде всего, (и только) абстрактностью введения особых чисел. Это следствие результатов вычислений диагонали абстрактного квадрата по заданной стороне, размер которой был физически необоснованно принят равным единице. Длина диагонали такого квадрата, по представлениям абстрактной математики, не может быть выражена рациональным и тем более натуральным числом. Доказательные рассуждения здесь сводятся к тому, что если квадрат со стороной, равной единице имеет длину диагонали равную d , то, по теореме Пифагора: то есть . Если d – рациональное число, тогда существуют такие числа, что и дробь несократима. Тогда: . Из этого равенства следует, что, так как правая его часть делится на 2, то и его левая часть делится на 2. Следовательно, и число m делится на 2. Другими словами существует такое целое число , что m = 2 k . Но тогда . Однако из последнего равенства аналогично следует, что число n делится на 2. Последнее обстоятельство приводит к противоречию, так как числа m и n не могут быть одновременно чётными (по предположению, дробь несократима). Значит, не существует такого рационального числа, которое бы выражало длину диагонали квадрата. И такое доказательство абстрактная математика принимает как вполне корректное обоснование реальности иррациональных чисел.
Физически адекватная математическая логика доказывает, что сторона квадрата не может являться единицей, а диагональ физически адекватного квадрата соответственно является всегда только целым положительным числом, и. вся проблема абстрактной математической логики, как уже отмечалось, здесь сводится к неадекватному введению в математику особых чисел, и соответственно множества натуральных чисел. Если принять физическую единицу за сторону квадрата, то это будет отрезок размером с неоатом, но такого квадрата в природе быть не может. Но если даже построить его, например, из четырех неоатомов (по одному на каждую сторону), то у такого «квадрата» микромира не будет диагонали. Поэтому при геометрической интерпретации физических чисел стороны и диагонали квадратов любых размеров физически могут быть представлены только целыми положительными числами, конструкторских проблем при формировании прямых углов во всех случаях построения квадратов не возникает.
Эти выводы позволяют иначе подойти и к решению проблемы диафантовых уравнений, теоремы Ферма и других подобных задач. Таким образом, любая иррациональная, бесконечная или периодическая десятичная дробь абстрактной математики в FAM - математике, становится конкретным положительным целым числом. Проблема состоит в том, что абстрактная математика за единицу считает возможным принимать все что угодно (без достаточного физического обоснования, а исходя лишь из некоего «удобства»), но именно эта возможность заложена и самими основами абстрактной математической логики, как главной методологической основой математики. У FAM-математики подобных проблем нет, ввиду того, что в качестве единицы она вводит неделимую универсальную материальную единицу, что позволяет науке принять неоатом и как фундаментальный физический и как математический объект. Именно поэтому числа, которые не являются рациональными (ни целыми, ни представимыми в виде дроби вида m/n, где m – целое число, а n – натуральное), в абстрактной математике представлены как иррациональные.
Аналогично абстрактная математика пыталась доказывать и то, что не существует рационального (тем более натурального) числа, квадрат которого был бы равен 5, 7, 10, и потому эти числа являются иррациональными. Но здесь возникает закономерный физический вопрос о том, во-первых, какие единицы стоят за этими числами, во-вторых, к каким объектам эти числа предполагается отнести, и, в-третьих, задача возведения числа в степень в физически адекватном представлении решается также несколько иначе, чем в абстрактном. Достаточно посмотреть на физически адекватный треугольник Пифагора и станет понятно, что выделить указанные числа на гипотенузе можно, но это не так просто.
Действительно на фундаментальном уровне и такие объекты могут быть представлены, если решить в общем виде проблему отнесения вершинных точек прямоугольных треугольников. На других уровнях в физическом смысле такой проблемы не существует, т.к. сводится лишь к определению актуальной точности вычислений в каждом конкретном случае. По крайней мере, об идеальности математического знания в этом случае говорить представляется вполне уместным только при физически адекватном введении особых чисел.
Известное утверждение Ферма о том, что диофантово уравнение
xn + yn = zn
неразрешимо в целых числах х, у, z (если не считать известных исключений) в FAM– математике, как уже отмечалось, оно приобретает иную формулировку и вполне разрешимо, как и любое другое физически адекватное утверждение или теорема. Прежде всего, имеется в виду, что в FAM – математике решения возможных вариантах представляются только в целых положительных физически адекватных числах. Поэтому теорема Ферма сводится к теореме о возможности представления суммы двух целых чисел, каждое из которых имеет равные показатели степени, числом с тем же показателем степени. Вопрос о том, что это тоже целое число в FAM – математике не обсуждается (это аксиома), т.е. само собой разумеется, в соответствии с ее аксиоматикой. Проблема доказательства неразрешимых проблем абстрактной математики представляет пример того, какое влияние на математику и науку в целом оказал отказ от материалистического подхода и учета требований фундаментального уровня природы. Это касается и поставленной проблемы Ферма, которая фактически также возникла как следствие абстрактного введения особых чисел.

Физически адекватное число
Абстрактность понятия числа отражается и на математических константах. Число (отношение длины окружности к диаметру), в частности, также требует уточнения в контексте представления окружности и диаметра из физических точек (неоатомов) рис.2. Соответственно современная абстрактная интерпретация числа , как иррационального числа, должна быть доказательно признана не вполне адекватной, и заменена физически адекватной интерпретацией его, как рационального числа. Иными словами, исходя из положений физически адекватной математической логики, которая за единицу, точку и эталон для измерений и геометрических построений принимает размер структурной единицы физического вакуума (неоатом).
Принятие материальной точки как единицы для построения геометрических объектов, прежде всего, позволяет опровергнуть абстрактное (необоснованное) присвоение единицы диаметру любой произвольной окружности, что позволяет физически обоснованно определить не только физический смысл и значение числа , но и показать теоретические и практические ограничения при его интерпретации. В связи с этим появляется возможность постановки вопроса о необходимости абстрактных вычислений дополнительных знаков абстрактного числа , т.к. появляется возможность указать его физический предел.
Рассматривая в этом контексте стратегию определения числа Архимедом и другими посредством вписанных и описанных абстрактных многоугольников, можно констатировать, что данная методика сегодня должна быть заменена физически адекватной. В абстрактной стратегии стремление к достижению максимального числа граней многоугольника предполагает абстрактный предел. Но таким пределом в физически адекватной математической логике является материальная точка, которая в этом случае в пределе ведет к физической окружности, т.е. составленной из физических точек. Здесь становится неубедительным и одно из принципиальных оснований абстрактной методологии, а именно представления диаметра окружности в качестве единицы.
В физически адекватной математической логике физически всегда точно задана именно длина окружности (а не диаметр), которая не может меняться. В абстрактной же методологии изменение числа граней многогранников фактически означает некую динамику длины окружности при постоянстве диаметра. На этом основании физически адекватная математическая логика утверждает, что длина физической окружности в принципе не может быть иррациональным числом, т.к. она представляет собой замкнутую систему из конечного числа материальных точек определенного размера. Соответственно диаметр физически адекватной окружности не может приниматься за единицу не только в физической, но и в абстрактной постановке задачи. Физически адекватная планиметрия утверждает, что на фундаментальном уровне число должно интерпретироваться только как рациональное число, где принятие или не принятие его в качестве константы и ее величины в определенном смысле являются вопросом соглашения. В некоторых случаях на фундаментальном уровне оно может быть даже целым положительным числом.
Соответственно, физически адекватная окружность всегда задана точно и состоит из целого числа точек и может быть представлена только целым положительным числом. Физический отрезок, называемый диаметром физической окружности в этих условиях может меняться из условия необходимости введения константы (отношения длины окружности к ее диаметру) или других условий, но также представленным физически адекватным целым числом.
Варианты физических окружностей и их диаметров, составленных из физических точек (неоатомов), показаны на рис.2. (неоатомы, по современным представлениям являются полыми сферами, поэтому представлены в виде колец, в сечении). Из построений приведенных на рис.2 следует, что число для длины окружности, содержащей, например, 16 точек (неоатомов) может быть принято равным и 4, если принять в качестве диаметра окружности отрезок, состоящий из точек, крайние из которых касаются точек физической окружности. В этом случае, как это видно из построений, диаметр может считаться равным 4 точкам, так как концевые точки диаметра будут касаться и физической и абстрактной окружности, которая вписана в физическую окружность. При принятии величины числа в соответствии с современными представлениями, диаметр абстрактной окружности должен быть соответственно увеличен.








Рис.2. Физически адекватные окружности
При таком представлении диаметра окружности, его концевые точки могут и накладываться на точки физической окружности. Поэтому необходимо учитывать, как сам факт, так и размер зоны перекрытия контура физической окружности, который имеет толщину в один неоатом. Для вычисления числа необходимо определиться, какое перекрытие допустимо (или не допустимо), а также точность, с которой могут соотноситься между собой числа точек – неоатомов окружности и диаметра при различных ситуациях. Абстрактная планиметрия фактически отказывается от решения этих вопросов, но, абстрагируясь, она теряет в точности, а на фундаментальном уровне, когда окружность состоит из небольшого числа точек, расхождения становятся кардинальными.
Как видно на рис.2, точки, определяющие концы диаметра могут либо обе принадлежать окружности (накладываться полностью на точки окружности), либо только один из них (когда абстрактная окружность проходит через центры точек физической окружности), либо обе конечных точки диаметра касаются точек физической окружности изнутри. Для всех этих случаев число , оно будет различным, по крайней мере, в том интервале, который дают изменения диаметра на один - два неоатома (в общем случае - это одна либо две толщины «линии» физической окружности, что также физически адекватно).
Вычисления группы Я.Канада могут быть представлены сегодня и как рациональное число, которое соответствует уровню приближения, достаточного для практических и большинства теоретических задач, ввиду того, что нет необходимости ставить проблему увеличения количества знаков числа даже до 73 знаков после запятой (размер неоатома). По крайней мере, в рассмотренных физических представлениях окружности нет оснований считать число иррациональным или трансцендентным числом. Проблема должна сводиться только к установлению необходимой точности вычислений, в которых участвует число .
Физически адекватная математическая логика утверждает, что числа менее размера одного неоатома, не имеют ни физического, ни соответственно математического смысла. Именно поэтому минимально возможная физическая окружность и соответствующая ей длина окружности не может состоять менее чем из 6 физических точек. В этом случае абстрактная окружность, вписанная в такую наименьшую физическую окружность, будет иметь диаметр равный диаметру одного неоатома, как это показано на рис.2, а число соответственно для такой окружности может принимать значения от 2 до 6 в зависимости от того каким будет принято число точек, составляющих диаметр.
Вопросы точности на этом уровне это вопрос соглашения, исходя из целесообразности и физического смысла. Можно даже согласиться, например, и с тем, что число следует считать целым числом, по крайней мере, до тех пор, пока, погрешность вычислений не будет превышать определенной величины, например, размера одной или двух физических точек (неоатомов). Можно признать актуальным только определенный спектр физических окружностей, например, с четным или нечетным числом точек и для них ввести число .
При длине окружности, например, в 1 см. число неоатомов – точек, составляющих данную физическую окружность, будет равно 1•10^73 неоатомов. Приняв число равным, например, его вычисленному значению группой Я. Канада (обозначим его число , как ЯК), в предположении, что все остальные цифры числа до 73 порядка равны 0, получим физически адекватный диаметр данной окружности, который будет равен 1/ЯК•10^73 – 1 неоатомов, или 1/ЯК•10^73 + 1 неоатомов. Это физический предел возможных значений указанных параметров.
Однако в целом оказывается достаточным понимания того, что вводимый спектр окружностей становится дискретным, в котором длины соседних окружностей могут различаться не менее чем в один неоатом. В макроскопических задачах, с которыми в основном имеет дело абстрактная планиметрия важно само установление физического предела и статуса числа , а также того, что абстрактный подход не обладает необходимой точностью, которая требуется фундаментальным уровнем описания.
Число , как математическая и как физическая константа, должно стать не приближенным, а строго доказанным точным рациональным числом, полагая, что вопросы методологии в данном случае доказательно согласованны. Однако главным сегодня представляется вывод, что путь, выбранный абстрактной математикой не вполне адекватен методологически, и, отвергая материалистическое направление развития, математика неизбежно теряет в точности и в данной проблеме. При условии, что длина окружности всегда точно задана целым положительным числом физических точек, отношение длины окружности к диаметру не может представляться иррациональным, трансцендентным числом.

Фундаментальное физически адекватное множество чисел
Множества рациональных и иррациональных чисел, составляющие множество действительных (вещественных) чисел в абстрактной математике утверждают, что каждому действительному числу отвечает точка на числовой оси (координатной прямой), и наоборот, каждая точка на координатной прямой соответствует действительному числу. Поэтому для определения любой точки координатной прямой достаточно найти расстояние до неё от начала координат, а затем поставить перед этим числом знак плюс, если точка располагается правее начала координат, и знак минус, если точка располагается левее. Однако корректно осуществить в реальности это действие для любых чисел по существу невозможно.
Физически адекватная математика предлагает ввести дискретность числовой оси с шагом равным единичному неоатому для счетной числовой оси и размеру одного неоатома для пространственной числовой оси. Учитывая, что нулевая точка и дискретность у них общие, то эти оси могут быть совмещены, т.е. два числа этой физически адекватной числовой оси будут отличаться не менее чем на один неоатом.
Такая числовая ось отражает фундаментальное множество физически адекватных чисел. В этом контексте необходимо представить и физически адекватное понятие «множества» чисел, для которого без фундаментального физического обоснования весьма трудно дать и адекватное определение, которое не просто заменяло бы термин «множество» другими равнозначными, и столь же физически неопределенными (совокупность, собрание элементов и т. д.). С этой проблемой сегодня чаще всего сталкивается абстрактная математика, и что является еще одним важным аргументом необходимости устранения главной причины проблем, а именно абстрактности математической логики.
Если в качестве элементов множеств рассматривать числа, из которых это множество состоит, то следует иметь в виду объекты, которые стоят за этими числами и их фундаментальную структуру, причем также в виде числа. Каждый человек является элементом множества людей, все люди состоят из определенного набора атомов и молекул, которые состоят из субатомных частиц, которые, в свою очередь, состоят из неоатомов. Что в этом раскладе корректнее брать за число человека или неоатом, представляется очевидным. Ответ на этот вопрос дает математический закон науки познания, который утверждает необходимость введения в математику понятия фундаментального физического множества чисел, где каждая единица должна быть тождественна любой другой, и которые во времени остаются также неизменными и тождественными (более того они определяют также и понятие и ход времени). Если же за единицу берется человек (или другой синтезированный объект), как это делает абстрактная математика, то непосредственно возникает проблема тождественности объектов, т.к. тождественных людей (как и любых других синтезированных объектов, включая атомы, протоны, нейтроны, кварки и т.д.) не существует. Возникает вопрос и о том, как возможно корректно работать с такими множествами. Если пытаться решить проблему тождественности через свойства человека, например, две ноги, две руки, голова, где мозг является биологическим компьютером и т.д., то в такое множество попадут и многие низшие животные. В соответствии же со вторым положением математического закона науки познания, которое является фундаментальной аксиомой физически адекватной математической логики (и математики), количественной оценке, то есть математическим операциям корректно могут быть подвергнуты лишь тождественные объекты, т.е. только неоатомы. Другие объекты соответственно должны быть представлены числами, которые отражают количество неоатомов в них.
Примечание.
1.Аврелий Августин. Исповедь. М., Renaissance, 1991
2. Бурбаки Н. Архитектура математики// Очерки по истории математики. М., 1963. С. 251, 258-259.
3.Вейль Г. Математическое мышление. Москва, "Наука", 1989.
4.Визгин Вл. П. Математика в классической физике // Физика XIX -XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах: Физика XIX в.М., 1995. С. 6-72
5.Godel K. Russel's Mathematical Logic. // Beneceraff and Putman (eds.) Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1983 p.447-469
6.Godel K. What is Cantor's Continuum Problem // Beneceraff and Putman (eds.) Philosophy of Mathematics. Cambridge University Press, Cambridge, 1983 p.470-485
7.Гедель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения// Математическая теория логического вывода. Москва, 1967, с.299-305
8.Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел// Математическая теория логического вывода. Москва, 1967, с. 77-153
9.Гильберт Д. О понятии числа //Основания геометрии. Москва, 1948, с.320-322
10.Гильберт Д. Об основаниях логики и арифметики //Основания геометрии. Москва, 1948, с.322-337
11.Гильберт Д. О бесконечном. //Основания геометрии. Москва, 1948, с.338-352
12.Гильберт Д. Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. Москва, "Наука", 1979.
13. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Методологический анализ оснований математики. М., 1988.
14. Deducing R. Gesammelte mathematische Werke, Bd 1-3, Braunschweig, 1930
15. Дедекинд Р., "Что такое числа и для чего они служат", Казань, 1905
16.Дедекинд Р., "Непрерывность и иррациональные числа", Одесса, 1923
17.Дмитриев Ю.Б. Обращение российских ученых к международному научному сообществу и основы единой науки. – М, ИВИ РАН, 2007, 110с.
18.Кантор Г. Труды по теории множеств. Москва, "Наука", 1985
19.Карри Х., Основания математической логики, пер. с англ., М., 1969;
20. Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford Univ. Press, 1983; Kitcher Ph. Hilbert's Epistemology//Philosophy of Science. 1976. Vol. 43. No 1. Kitcher Ph. The Plight of the Platonist//Nous. 1978. Vol. 12; Кitсher Ph. Mathematical Rigor — Who Needs It//Nous. 1981. Vol. 15. No 4
21.Китчер Ф. Математический натурализм // Методологический анализ оснований математики. М.. 1989.
22.Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М., 1989. С. 26
23.Клейн М. Математика: утрата определенности М., 1984. С. 384.
24. Клини С. К. Введение в метаматематику. — М.: ИЛ, 1957, 526 с.
25. Клини С. К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973, 480 с.
26.Клини С., Весли Р. Е. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций / Пер. с англ. — М., Наука, 1978. — 272 с
27. Коэн П. Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза. — M.: Мир, 1969, гл.Основы математической логики, с. 13–88.
28.Кузнецова И. С. Генезис математического знания: Автореф. дисс. докт. филос. наук. Л., 1985.
29. Куслия П.С. Иерархичность математического знания, «счетные числа» Кантора — Фреге и онтологический статус «нуля». М.,1995
30.Лейбниц Г.В. Соч. в 4-х тт. Т. 1. М., 1982. С. 413-429;433-528; Т. 2. М., 1983. с. 74-90; 155-157; 415-423; 444.
30.Мак-Лейн С. Математическая логика — ни основания, ни философия//Методологический анализ оснований математики. М., 1988. С. 150
31.Марков А. А.. Элементы математической логики. М.: Изд-во МГУ, 1984.
32. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — 2-е издание. — М: Наука, 1976, 320 с.
33. Наан Г. И. Понятие бесконечности в математике, физике и астрономии. М., 1965.
34. Новиков П. С. Элементы математической логики. — 2-е издание, исправленное. — М.: Наука, 1973, 399 с.
35.Столл Р. Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. М.: Просвещение, 1968. — 232 с.
36Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. 508 с.
37. Shapiro M. // Philosophia Mathematica. - 1994. - Ser. 3. - P. 148-160.
38. Шафаревич И. Р. Основные понятия алгебры. М., 1986
39. Шатхан Л. А. Взаимосвязь творчества и методологических взглядов А. Гротендика // Современная математика: методологические и мировоззренческие проблемы. Часть II. М., 1987. С. 324
40. Шеллинг Ф.В.Й. Система трансцендентального идеализма // Шеллинг Ф.В.Й. Сочинения в двух томах, т.1, с.227-489
41.Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.
42.Шляхин Г.Г. Соотношение понятия и индивида в математическом знании// Методологический анализ математических теорий. Москва, 1987, с. 184-192
43. Shokichi I., Yukiyoshi K. Yoshio Mikami. The Development of Mathematics in China and Japan. 2nd ed. New York, 1964
44. Sсhoenfе А. Н. Teaching Mathematical Problem Solving Skills Department of Mathematics, Hamilton College. Clinton; NY, 1979. P. b 9.
45. Эббинхауз Г.Д., Якобс К., Ман Ф.-К., Хермес Г. Машины Тьюринга и рекурсивные функции.— М.: Мир, 1972, с.264
46.Эдварде Г. Последняя теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию чисел. М., 1980.
47.Эрдниев П. М. Аналогия в математике. М., 1970.